On a
q(x) − p(x)
x n
= x
k−n (c k + c k+1 x + · · · + c n x
n−k )
( * )
Quand x tend vers 0, le facteur entre parenthèses tend vers c k = / 0. Si k = n,
alors x
k−n = 1 ; si k < n, x
k−n
ne reste pas borné quand x tend vers 0, puisque
l’exposant est négatif. Dans les deux cas, le membre de droite dans ( * ) ne tend
pas vers 0, ce qui est une contradiction. Ce qu’on a supposé n’est pas vrai,
autrement dit le polynôme q − p est nul. Ainsi p = q, donc les polynômes p et
q ont les mêmes coefficients.
J
Existence d’un développement limité. Soit I un intervalle ouvert
contenant 0 et soit f : I → R une fonction ayant des dérivées continues jusqu’à l’ordre n. Alors f a un développement limité à l’ordre n
au point 0 :
f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a k x
n + · · · + a n x
n + o(x
n )
où a 0 = f (0) , a 1 = f
(0) ,. . . , a k =
f (k) (0)
k! ,. . . , a n =
f (n) (0)
n! .
Démonstration. Écrivons la formule de Taylor pour f, à l’ordre n, au point 0 :
pour tout x ∈ I, il existe un nombre c(x) tel que 0 |c(x)| |x| et
f (x) = f (0) + f
(0)x +
f
(0)
2!
x
2 + · · · +
f
(n) c(x)
n!
x
n .
Posons ε(x) = f
(n) c(x)
− f
(n) (0) . On a lim
x→0
c(x) = 0 et comme f
(n)
est
continue en 0, on en déduit lim
x→0
ε(x) = 0, c’est-à-dire ε(x)x
n = o(x
n ). Il s’ensuit
f
(n) c(x)
x
n = f
(n) (0)x
n + ε(x)x
n = f
(n) (0)x
n + o(x
n )
d’où
f (x) = f (0) + f
(0)x +
f
(0)
2!
x
2 + · · · +
f
(n) (0)
n!
x
n + o(x
n ) .
J
Intégration d’un développement limité. Soit I un intervalle ouvert
contenant 0, f : I → R une fonction continue et F : I → R une primitive de f. Si f a pour développement limité à l’ordre n en 0 :
f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n + o(x
n )
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Chapitre 3 • Développement limité
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