On a lim
x→0
1
x 2
x 3
1−x
= lim
x→0
x
1−x
= 0 , donc
x 3
1−x
=
x→0
o(x
2 ) . On en déduit
1
1−x
= 1 + x + x
2 + o(x
2 )
qui est un développement limité de la fonction
1
1−x
à l’ordre 2 au point 0.
Proposition. Soit f une fonction.
® f a un développement limité à l’ordre 0 au point 0 : f (x) =
a 0 + o(1), si et seulement si lim
x→0
f (x) = a 0 .
® Supposons f continue en 0. Alors f est dérivable en 0 si et seulement si f a un développement limité à l’ordre 1 au point 0. Dans
ce cas, ce développement est f (x) = f (0)+ f
(0)x+o(x)
Démonstration. Si f (x) = a 0 + o(1), alors lim
x→0
f (x) = lim
x→0
a 0 +o(1)
= a 0 , car lim
x→0
o(1) = 0. Réciproquement, supposons lim
x→0
f (x) = a 0 . Alors
lim
x→0
f (x)−a 0
= 0 , donc f (x)−a 0 = o(1), ou encore f (x) = a 0 +o(1) .
Si f est dérivable en 0, alors en posant ε(x) =
f (x)− f (0)
x
− f
(0) , il vient
f (x) = f (0) + x f
(0) + xε(x) . Par définition de la dérivée, lim
x→0
ε(x) = 0,
donc xε(x) =
x→0
o(x). Réciproquement, supposons f continue en 0 et
f (x) = a 0 + a 1 x + o(x). Puisque lim
x→0
a 1 x+o(x)
=0, on a a 0 = lim
x→0
f (x) ;
et puisque f est continue en 0, on a lim
x→0
f (x) = f (0). Il s’ensuit f (0) = a 0 et
f (x)− f (0)
x
=
f (x)−a 0
x
= a 1 +
o(x)
x
. Par suite lim
x→0
f (x)− f (0)
x
= a 1 , c’est-à-dire
f
(0) = a 1 .
J
Unicité du développement limité. Si une fonction a un développement limité à l’ordre n au point 0, alors ce développement est
unique.
Démonstration. Supposons que p(x) et q(x) sont des fonctions polynômes
de degré au plus n telles que lim
x→0
f (x)− p(x)
x n
= 0 = lim
x→0
f (x)−q(x)
x n
. En soustrayant,
il vient lim
x→0
q(x)− p(x)
x n
= 0. Raisonnons par l’absurde en supposant que le polynôme q − p est non nul. Il s’écrit
q(x) − p(x) = c k x
k + c k+1 x
k+1 + · · · + c n x
n
= x
k (c k + c k+1 x + · · · + c n x
n−k ) , où k n et c k = / 0.
3.2 • Développement limité
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