3) Pour tout α > 0, on a ln x =
x→+∞
o(x α ) et x α =
x→+∞
o(e
x ).
En effet, lim
x→+∞
ln x
x α = 0 et lim
x→+∞
x α
e x = lim
x→+∞
(x
α e
−x ) = 0 .
Nous nous intéresserons surtout à des fonctions f négligeables devant x
n
quand x tend vers 0, avec n ∈ N. On écrira
f (x) =
x→0
o(x
n ) ou simplement f (x) = o(x
n )
Pour n = 0, on a x
0 = 1, d’où les équivalences :
f =
x→0
o(x
0 ) ⇐⇒ f =
x→0
o(1) ⇐⇒ lim
x→0
f (x) = 0
Soit n ∈ N et f une fonction définie au voisinage de 0 sauf peut-être en
0. Posons ε(x) = f (x)/x
n
si x = / 0 et ε(0) = 0.
Si f (x) =
x→0
o(x
n ), alors par définition, lim
x→0
ε(x) = 0. Puisque ε(0) = 0,
la fonction ε est continue en 0. Et l’on a l’égalité f (x) = x
n ε(x) pour
tout x = / 0. On en déduit la formulation suivante.
f (x) =
x→0
o(x
n ) si et seulement si



f (x) = x
n ε(x),
avec ε continue en 0
et ε(0) = 0
3.2 DÉVELOPPEMENT LIMITÉ
Définition. Soit f une fonction définie au voisinage de 0 sauf peut-être
en 0, et soit n ∈ N. S’il existe une fonction polynôme réelle de degré
au plus n : p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n
, telle que
f (x) − p(x) =
x→0
o(x
n ),
l’égalité f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n + o(x
n ) s’appelle un développement limité de f à l’ordre n au point 0.
Exemple. L’identité
1−x
3
1−x
= 1+x+x
2 est vraie pour tout x = / 1. Écrivons-la
sous la forme
1
1−x
= 1 + x + x
2 +
x
3
1−x
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Chapitre 3 • Développement limité
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