3.1 FONCTION NÉGLIGEABLE DEVANT UNE AUTRE
Pour tout entier n 1, on sait que lim
x→0
x
n = 0. Plus précisément, quand
x > 0 est très petit, il est clair que x
2
est très petit devant x, car
x 2
x = x
tend vers 0 ; de même x
3
est très petit devant x
2
, et ainsi de suite. Les
fonctions x → x
n
forment une échelle de comparaison qui permet d’estimer l’ordre de grandeur, quand x tend vers 0, de certaines fonctions
x → f (x) tendant vers 0 quand x tend vers 0.
Définition. Soient f et g des fonctions. On dit que f (x) est négligeable devant g(x) quand x tend vers a si lim
x→a
f (x)
g(x) = 0 .
Cette propriété se note f (x) =
x→a
o
g(x)
et se lit « f (x) égale petit o
de g(x) quand x tend vers a ».
Exemples
1) On a x
2 =
x→0
o(x) , x
3 =
x→0
o(x
2 ) et plus généralement,
si n > p, alors x
n =
x→0
o(x
p ).
En effet, si n > p, alors lim
x→0
(x
n /x
p ) = lim
x→0
x
n− p = 0.
2) On a ln x =
x→0
o(1/x) , car lim
x→0
ln x
1/x
= lim
x→0
(x ln x) = 0.
3
CHAPITRE
Développement
limité
Nous présentons dans ce chapitre la notion de fonction négligeable
devant une autre et celle de développement limité.
Nous montrerons les développements limités à connaître ou à savoir
retrouver rapidement
OBJECTIFS
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