Ainsi lim
n→+∞
ln(n + 1)
ln n
−1
= lim
n→+∞
ln(n + 1) − ln n
ln n
= 0 , d’où
lim
n→+∞
ln(n + 1)
ln n
= 1. Puisque lim
n→+∞
1
ln n
= 0, les inégalités ( * ) montrent que lim
n→+∞
s n
ln n
= 1 .
2.2 a) f (1) =
e
2
et f
(x) =
e
x (1 + x
2 ) − e
x (2x)
(1 + x 2 ) 2
=
e
x
(1 + x 2 ) 2 (1−x)
2 .
b) Pour tout h > 0, il existe c tel que
1 < c < 1 + h
et
f (1 + h)− f (1) = [(1 + h) − 1] f
(c) = h
e
c
(1 + c 2 ) 2 (1−c)
2 .
On a 0 <
e
c
(1 + c 2 ) 2 <
e
1+h
(1 + 1) 2 et comme |1−c| < h, on a
(1−c)
2 = |1−c|
2 < h
2
. Il vient 0 <
e
c
(1 + c 2 ) 2 (1−c)
2
e
1+h
4
h
2 =
e
4
h
2
e
h
, d’où
0 < f (1 + h)−
e
2
= f (1 + h)− f (1)
e
4
h
3 e
h .
De même, il existe d tel que
1−h < d < 1
et
f (1) − f (1−h) = [1 − (1−h)] f
(d) = h
e
d
(1 + d 2 ) 2 (1−d)
2 .
On a 1 + d
2
1, (1−d)
2 < h
2
et e
d < e, donc
0 <
e
2
− f (1−h) < heh
2 = eh
3 .
2.3 a) Appliquons le théorème des accroissements finis : on a
f
(x) = ln x, donc pour tout x > 1, il existe c entre x−1 et x tel que
f (x) − f (x−1) = [x − (x−1] ln c = ln c .
Puisque ln c ln x, il vient f (x) − f (x−1) ln x .
Solutions
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