SOLUTIONS
2.1 a) La dérivée de x → ln x est x →
1
x
. Pour tout x > 0, il existe
donc un nombre c tel que
x < c < x+1 et ln(x+1) − ln x = [(x+1) − x]
1
c
=
1
c
.
Puisque
1
x+1
<
1
c
<
1
x
, on en déduit
1
x+1
< ln(x+1) − ln x <
1
x
.
b) Écrivons cet encadrement pour x = 1,x = 2,. . . ,x = n−1, où
n 2 :
1
2
< ln 2 − ln 1
<
1
1
1
3
< ln 3 − ln 2
<
1
2
· · ·
· · ·
· · ·
1
n
< ln n − ln (n−1) <
1
n−1
et ajoutons ces inégalités : la plupart des termes ln k se simplifient et
il reste
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
< ln n − ln 1 <
1
1
+
1
2
+ · · · +
1
n−1
, c’est-à-dire
s n − 1 < ln n < s n−1 .
c) Puisque s 1 = 1, l’inégalité s n 1 + ln n est vraie pour tout n 1,
d’après (b). On a ln n < s n−1 pour tout n 2, donc on a ln(n+1) < s n
pour tout n 1. Puisque 1 + ln n et ln(n+1) tendent vers +∞ quand n
tend vers +∞, on en déduit lim
n→+∞
s n = +∞.
Pour tout n 2, en divisant par ln n > 0 dans l’encadrement précédent,
il vient
ln(n + 1)
ln n
<
s n
ln n
<
1
ln n
+ 1
( * )
On a montré dans (b) que ln(n + 1) − ln n <
1
n
, donc
lim
n→+∞
[ln(n + 1) − ln n] = 0
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Chapitre 2 • Formules de Taylor
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