2.2 Posons f (x) =
e
x
1+x 2 .
a) Calculer f (1) et f
(x) pour tout x.
b) En utilisant la formule des accroissements finis, montrer que pour tout
h > 0, on a
0 < f (1+h) −
e
2
e
h
4
eh
3
0 <
e
2
− f (1−h) eh
3
2.3 Pour tout x > 0, posons f (x) = x ln x − x.
a) Calculer f
(x) et montrer que pour tout x > 1, on a
f (x) − f (x−1) ln x .
b) En procédant comme dans l’exercice 2.1, montrer que pour tout entier
n 1, on a
ln 2 + ln 3 + · · · + ln n f (n) − f (1) = 1 + n ln n − n .
c) En déduire que pour tout entier n 1, on a n! e
n
e
n
.
d) Soit a ∈ R
∗+
. Montrer que pour tout entier n 1, on a
ln
a
n
n!
n(1 + ln a − ln n). En déduire que lim
n→+∞
a
n
n!
= 0.
Montrer que pour tout x ∈ R, on a lim
n→+∞
x
n
n!
= 0.
2.4 a) Écrire la formule de Taylor à l’ordre 4 pour la fonction x → cos x
au point 0.
b) En déduire que pour tout x ∈ R, on a les inégalités
1 −
x
2
2
cos x 1 −
x
2
2
+
x
4
24
2.5 a) Écrire l’équation de la tangente au graphe de sinus au point d’abscisse π/6.
b) On pose u(x) =
1
2
+
√
3
2
x−
π
6
.
Montrer que pour tout x ∈ [0,π/3], on a l’inégalité
sin x − u(x)
√
3
4
x−
π
6
2
Exercices
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