Or la suite de terme général
|a| n
n!
a pour limite 0 (voir page 39, exercice 2.3
(d)), donc lim
n→+∞
|e
a − u n | = 0 , ou encore lim
n→+∞
u n = e
a .
Pour tout a ∈ R, lim
n→+∞
1 +
a
1!
+
a
2
2!
+ · · · +
a
n
n!
= e
a
En particulier, pour a = 1, on a
lim
n→+∞
1 +
1
1!
+
1
2!
+ · · · +
1
n!
= e
CONSEILS
® Attention : dans la formule des accroissements finis ou les formules de
Taylor, le nombre c qui intervient dépend des points où l’on applique la
formule.
® Pour comparer f (x)− f (y) et x−y, pensez à la formule des accroissements finis.
® Pour comparer une fonction à une fonction polynôme, pensez aux formules de Taylor.
EXERCICES
2.1 On veut étudier les sommes s n = 1+
1
2
+ · · · +
1
n
, où n ∈ N
∗
.
a) En utilisant la formule des accroissements finis pour la fonction ln,
montrer que pour tout x > 0, on a
1
x+1
< ln(x+1) − ln x <
1
x
.
b) Soit n un entier au moins égal à 2. Écrire cet encadrement pour
x = 1,x = 2,. . . ,x = n − 1 . En déduire que l’on a :
s n − 1 < ln n < s n−1
c) Montrer que pour tout entier n 1, on a ln(n+1) s n 1 + ln n.
En déduire lim s n = +∞ et lim
n→+∞
s n
ln n
= 1.
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Chapitre 2 • Formules de Taylor
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