Définissons les polynômes
T 1 (x) = x
T 5 (x) = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
T 3 (x) = x −
x
3
3!
T 7 (x) = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
et majorons, pour tout x ∈ [−π,π ], l’écart entre sin x et l’un de ces polynômes. D’après les formules de Taylor à l’ordre 7 ou 9, on a les inégalités
|sin x − T 5 (x)|
|x|
7
7!
π
7
7!
< 6 × 10
−1
pour tout x ∈ [−π,π ]
|sin x − T 7 (x)|
|x|
9
9!
π
9
9!
< 10
−1
pour tout x ∈ [−π,π ]
Applications
37
Graphes de sin, T 1 et T 3
π
sin
x
T 1
T 3
– π
Graphes de sin, T 5 et T 7
x
π
sin
T 5
T 7
– π
Sur ces figures, on voit que l’approximation de sinus sur [−π,π ] par les
fonctions polynômes T 1 , T 3 , T 5 , T 7 est d’autant meilleure qu’on a pris un
plus grand ordre pour la formule de Taylor. Avec la formule à l’ordre n, l’erreur est majorée par
π n
n!
, des nombres qui tendent vers 0 quand n tend vers
+∞ (exercice 2.3 (d)).
Exemple 3. Écrivons la formule de Taylor au point 0 pour la fonction
f : x → e
x . On a f = f
= f
= · · · = f
(k) pour tout entier k 1, donc
f
(k) (0) = 1 . Soit a ∈ R. Pour tout entier n 1, il existe un nombre c entre
0 et a tel que
e
a = 1 + a +
a
2
2!
+
a
3
3!
+ · · · +
a
n
n!
+
a
n+1
(n+1)!
e
c
( * )
Posons u n = 1 + a +
a
2
2!
+
a
3
3!
+ · · · +
a
n
n!
.
• Si a 0, alors 0 c a, donc 0 < e
c
e
a .
• Si a 0, alors c 0, donc e
c
1 .
Posons m = e
a si a 0 et m = 1 si a < 0. D’après ( * ), on a alors
|e
a − u n | =
a
n+1
(n+1)!
e
c
=
|a|
n+1
(n+1)!
e
c
|e
a − u n |
|a|
n+1
(n+1)!
m
car e
c
m.
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