P(x) = f (a) + (x−a) f
(a) +
(x−a)
2
2
f
(a)
u(x) = f (x) − P(x)
v(x) = (x−a)
3
Les fonctions u et v sont trois fois dérivables sur I. On a
P
(x) = f
(a)+(x − a) f
(a) , P
(x) = f
(a) et u
(x) = f
(x) − P
(x)
u
(x) = f
(x) − f
(a) − (x−a) f
(a) donc u
(a) = 0
u
(x) = f
(x) − f
(a)
donc u
(a) = 0
v
(x) = 3(x−a)
2
donc v
(a) = 0
v
(x) = 6(x−a)
donc v
(a) = 0
De plus, v
(x) = / 0 et v
(x) = / 0 si x = / a, et l’on a v
(3) (x) = 6. Il
existe donc un nombre c compris entre a et b tel que
u(b) − u(a)
v(b) − v(a)
=
u
(3) (c)
v (3) (c)
. Or
u(a) = f (a)−P(a) = 0 et v(a) = 0
u
(3) (x) = f
(3) (x) et v
(3) (x) = 6
donc il vient
u(b)−u(a)
v(b)−v(a)
=
u(b)
v(b)
=
f (b)−P(b)
(b−a) 3
et
u
(3) (c)
v (3) (c)
=
f
(3) (c)
6
Ainsi, f (b) = P(b) +
f (3) (c)
6 (b−a)
3
.
Puisque P(b)= f (a)+(b−a) f
(a)+
(b−a) 2
2
f
(a) , on obtient
f (b) = f (a) + (b−a) f
(a) +
(b−a) 2
2
f
(a) +
(b−a) 3
6
f
(3) (c)
C’est la formule de Taylor à l’ordre 3 au point a, pour la fonction f.
Résumons
Soit I un intervalle ouvert, f : I → R une fonction et a ∈ I.
® Si f est dérivable sur I, alors pour tout b ∈ I, il existe c compris entre
a et b tel que
f (b) = f (a) + (b−a) f
(c)
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Chapitre 2 • Formules de Taylor
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