Les fonctions u et v sont deux fois dérivables sur I.
On a
u
(x) = f
(x) − P
(x) = f
(x) − f
(a) donc u
(a) = 0
v
(x) =
2(x−a)
donc v
(a) = 0
De plus, v
(x) = / 0 si x = / a, et v
(x) = 2 . D’après le corollaire du
théorème de l’Hospital, pour tout b ∈ I , il existe un nombre c compris
entre a et b tel que
u(b)−u(a)
v(b)−v(a)
=
u
(c)
v (c)
On a
u(a) = f (a)−P(a) = 0 et v(a) = 0
u
(x) = f
(x) et v
(x) = 2
donc il vient
u(b)−u(a)
v(b)−v(a)
=
u(b)
v(b)
=
f (b)−P(b)
(b−a) 2
et
u
(c)
v (c)
=
f
(c)
2
On en déduit
f (b)−P(b)
(b−a) 2 =
f
(c)
2
,
d’où f (b) = P(b) +
(b − a)
2
2
f
(c).
Puisque P(b) = f (a) + (b − a) f
(a), on obtient finalement
f (b) = f (a) + (b−a) f
(a) +
(b−a)
2
2
f
(c)
C’est la formule de Taylor à l’ordre 2 au point a, pour la fonction f.
2.3.2 Formule de Taylor à l’ordre 3
On veut cette fois étudier la différence
f (x)−
f (a) + (x−a) f
(a) +
(x−a)
2
2
f
(a)
et pour cela, nous supposons que la dérivée troisième f
(3) (x) existe pour
tout x ∈ I. Posons :
2.3 • Les formules de Taylor
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