® Si f a une dérivée seconde sur I, alors pour tout b ∈ I, il existe c
compris entre a et b tel que
f (b) = f (a) + (b − a) f
(a) +
(b + a)
2
2
f
(c)
® Si f a une dérivée troisième sur I, alors pour tout b ∈ I, il existe c
compris entre a et b tel que
f (b) = f (a) + (b − a) f
(a) +
(b − a)
2
2
f
(a) +
(b − a)
3
6
f
(c)
2.3.3 Formule de Taylor à l’ordre n
En raisonnant de même, ces formules se généralisent à une fonction f
ayant des dérivées jusqu’à un ordre n quelconque.
Théorème. Soit I un intervalle ouvert, a ∈ I et f : I → R une
fonction ayant des dérivées f
, f
,. . . , f
(n)
. Alors pour tout b ∈ I, il
existe un nombre c compris entre a et b tel que
f (b) = f (a) + (b−a) f
(a) +
(b−a)
2
2!
f
(a) + · · ·
+
(b−a)
k
k!
f
k (a) + · · ·
+
(b−a)
(n−1)
(n−1)!
f
(n−1) (a) +
(b−a)
n
n!
f
n (c)
Cette égalité s’appelle la formule de Taylor à l’ordre n au point a.
APPLICATIONS
Exemple 1. Posons f (x) = ln(1+x). La fonction f est définie et dérivable
autant de fois qu’on veut sur ]−1,+∞[ . Écrivons pour cette fonction la formule de Taylor à l’ordre 2 au point 0. On a
f (0) = ln(1) = 0 et f
(0) = 1.
Applications
35
f (x)
f
(x)
f
(x)
ln(1+x)
1
1+x
−1
(1+x) 2
9782100545636-Liret-C02.qxd 31/03/10 10:04 Page 35