Posons en effet f (x) =
3
√ x pour tout x, de sorte qu’on a
3
√ b −
3
√ a = f (b) − f (a) . La fonction x →
3
√ x est dérivable sur
]0,+∞[ car pour tout x > 0, on a
f
(x) =
1
3
x
1
3
−1 =
1
3
x
− 2
3 =
1
3x
2
3
=
1
3
3
√ x 2
D’après le théorème des accroissements finis, il existe un nombre
c ∈ [a,b] tel que f (b) − f (a) = (b − a) f
(c).Il reste à encadrer f
(c).
Pour tout x ∈ [a,b], on a 0 < a
2
x
2
b
2
. Puisque x →
3
√ x est strictement croissante, il vient 0 <
3
√ a 2
3
√ x 2
3
√ b 2 et finalement
1
3
3
√
b 2
f
(x)
1
3
3
√
a 2
.
Ainsi f
(c) est compris entre
1
3
3
√
b 2
et
1
3
3
√
a 2
. Puisqu’on a b − a > 0, on en
déduit
b−a
3
3
√
b 2
(b − a) f
(c)
b−a
3
3
√
a 2
, d’où l’encadrement cherché.
2.2 LE THÉORÈME DE L’HOSPITAL
C’est une variante de la formule des accroissements finis.
Théorème. Soit f et g des fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[. On suppose que g
(x) = / 0 quel que soit x ∈]a,b[ .
Alors il existe un nombre c ∈ ]a,b[ tel que
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
(c)
g (c)
Démonstration. Puisque la fonction g
ne s’annule pas sur ]a,b[, c’est que
g(b) − g(a) = / 0, d’après la contraposée du théorème de Rolle. Posons
p =
f (b)− f (a)
g(b)−g(a)
et soit u : [a,b] → R la fonction définie par
u(x) = f (x) − f (a) − p
g(x) − g(a)
.
La fonction u est, comme f et g , continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. De
plus, on a u(a) = 0 et u(b) = f (b) − f (a) − p
g(b) − g(a)
= 0 par définition du nombre p. D’après le théorème de Rolle, il existe donc un nombre
c ∈ ]a,b[ tel que u
(c) = 0. Or u
(x) = f
(x) − pg
(x) , d’où f
(c) = pg
(c)
et p =
f (c)
g (c)
.
J
On peut quelquefois re-appliquer le théorème de l’Hospital aux dérivées
f
et g
, puis aux dérivées secondes, etc, comme dans la proposition suivante.
2.2 • Le théorème de l’Hospital
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√ x pour tout x, de sorte qu’on a
3
√ b −
3
√ a = f (b) − f (a) . La fonction x →
3
√ x est dérivable sur
]0,+∞[ car pour tout x > 0, on a
f
(x) =
1
3
x
1
3
−1 =
1
3
x
− 2
3 =
1
3x
2
3
=
1
3
3
√ x 2
D’après le théorème des accroissements finis, il existe un nombre
c ∈ [a,b] tel que f (b) − f (a) = (b − a) f
(c).Il reste à encadrer f
(c).
Pour tout x ∈ [a,b], on a 0 < a
2
x
2
b
2
. Puisque x →
3
√ x est strictement croissante, il vient 0 <
3
√ a 2
3
√ x 2
3
√ b 2 et finalement
1
3
3
√
b 2
f
(x)
1
3
3
√
a 2
.
Ainsi f
(c) est compris entre
1
3
3
√
b 2
et
1
3
3
√
a 2
. Puisqu’on a b − a > 0, on en
déduit
b−a
3
3
√
b 2
(b − a) f
(c)
b−a
3
3
√
a 2
, d’où l’encadrement cherché.
2.2 LE THÉORÈME DE L’HOSPITAL
C’est une variante de la formule des accroissements finis.
Théorème. Soit f et g des fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[. On suppose que g
(x) = / 0 quel que soit x ∈]a,b[ .
Alors il existe un nombre c ∈ ]a,b[ tel que
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
(c)
g (c)
Démonstration. Puisque la fonction g
ne s’annule pas sur ]a,b[, c’est que
g(b) − g(a) = / 0, d’après la contraposée du théorème de Rolle. Posons
p =
f (b)− f (a)
g(b)−g(a)
et soit u : [a,b] → R la fonction définie par
u(x) = f (x) − f (a) − p
g(x) − g(a)
.
La fonction u est, comme f et g , continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. De
plus, on a u(a) = 0 et u(b) = f (b) − f (a) − p
g(b) − g(a)
= 0 par définition du nombre p. D’après le théorème de Rolle, il existe donc un nombre
c ∈ ]a,b[ tel que u
(c) = 0. Or u
(x) = f
(x) − pg
(x) , d’où f
(c) = pg
(c)
et p =
f (c)
g (c)
.
J
On peut quelquefois re-appliquer le théorème de l’Hospital aux dérivées
f
et g
, puis aux dérivées secondes, etc, comme dans la proposition suivante.
2.2 • Le théorème de l’Hospital
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