Théorème des accroissements finis. Soit f : [a,b] → R une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors il existe au
moins un nombre c ∈ ]a,b[ tel que (formule des accroissements
finis)
f (b) − f (a) = (b − a) f
(c)
C’est ce théorème qui permet de montrer que si une fonction a une dérivée positive ou nulle sur un intervalle, alors elle est croissante.
En effet, soit I un intervalle et f : I → R une fonction dérivable telle que
f
(x) 0 pour tout x ∈ I. Soient a,b ∈ I tels que a < b. En appliquant la
formule des accroissements finis entre a et b, il vient
f (b) − f (a) = (b − a) f
(c) 0, car b − a > 0 et f
(c) 0
donc f (a) f (b). Cela montre que f est croissante sur I.
Démonstration. Sur le graphe de f, on considère les points A :
a, f (a)
et
B :
b, f (b)
. La droite ( AB) a pour pente p =
f (b)− f (a)
b−a
et pour équation
y = f (a) + p(x − a). Posons d(x) = f (a) + p(x − a). L’écart algébrique
entre le graphe de f et la corde AB est mesuré par la différence
e(x) = f (x) − d(x). La fonction e : [a,b] → R est, comme f, continue sur
[a,b] et dérivable sur ]a,b[. Puisque le graphe de d passe par A et B, on a
e(a) = e(b) = 0. D’après le théorème de Rolle, il existe donc un nombre
c ∈ ]a,b[ tel que e
(c) = 0. Or e
(x) = f
(x) − d
(x) = f
(x) − p, donc il
vient 0 = e
(c) = f
(c) − p , d’où f
(c) = p =
f (b)− f (a)
b−a
.
J
30
Chapitre 2 • Formules de Taylor
a
b
c
x
y
f(b)
f(a) A
y = d ( x )
B
y = f(x)
L'égalité
f (b)− f (a)
b−a
= f
(c)
affirme qu'au point d'abscisse c,
la tangente est parallèle à (AB) .
Si l’on peut trouver un encadrement m f
(x) M valable pour tout
x ∈]a,b[ , on obtient les inégalités des accroissements finis rappelées
page 5.
Exemple. Montrons que pour tous nombres a et b tels que 0 < a < b, on a
l’encadrement
b − a
3
3
√ b 2
3
√ b −
3
√ a
b − a
3
3
√ a 2
.
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