Commençons par énoncer la propriété qui, bien que particulière, est à
l’origine de tous les résultats de ce chapitre.
Théorème de Rolle. Soit f : [a,b] → R une fonction continue sur
[a,b], dérivable sur ]a,b[ et telle que f (a) = f (b) = 0. Alors il
existe un nombre c ∈]a,b[ tel que f
(c) = 0.
Démonstration. Si f est la fonction nulle, alors f
(x) = 0 pour tout x ∈ [a,b]
et l’on peut prendre pour c n’importe quel nombre de l’intervalle ]a,b[.
Supposons maintenant que f prend au moins une valeur non nulle, par exemple
une valeur positive. Puisque f est continue sur le segment [a,b], f atteint son
maximum en un certain point c ∈ [a,b] (théorème page 3). Ce maximum étant
strictement positif, on a c = / a et c = / b, donc c ∈ ]a,b[. Alors puisque f est
dérivable en c, on en déduit f
(c) = 0.
J
Il peut exister plusieurs nombres c tels que f
(c) = 0.
2.1 LA FORMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS
Elle permet d’estimer, au moyen de la dérivée, la différence
f (b) − f (a) des valeurs prises par une fonction f en deux points a et b.
2
CHAPITRE
Formules
de Taylor
Si f est une fonction dérivable, nous montrons que les différences
f (b) − f (a) peuvent s'exprimer au moyen de f
(égalité des accroissements finis).
Si f possède une dérivée seconde, ou troisième, etc., on obtiendra aussi des
formules faisant intervenir f
, f
(3)
, etc. (formules de Taylor).
Ces résultats permettent de démontrer des inégalités et calculer certaines
limites (règle de l'Hospital).
OBJECTIFS
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