– Sur l’intervalle [−1,−
√
2/2], on complète par symétrie par rapport à
l’origine, car f est une fonction impaire.
1.7 a) Puisque f est continue sur le segment [a,b], f a un maximum M
et un minimum m sur [a,b] : il existe des nombres u et v appartenant
à [a,b] tels que, pour tout x ∈ [a,b], on a m = f (u) f (x)
f (v) = M. On a donc m f (u n ) M pour tout n et par suite
m
n
f (u n )
n M
n
pour tout n.
Par hypothèse, on a −1 < f (u) = m M = f (v) < 1, donc les suites
géométriques (m
n )et (M
n ) ont pour limite 0. On en déduit que
f (u n )
n
tend vers 0.
26
Chapitre 1 • Suites et fonctions
Figures 1.6
π
−π
π/2
2 /2
1
x
2 Arcsin x
−π
−π/2
2 /2
1
π
π
2π
π/2
x
– 2 Arcsin x
2 /2
1
– 2 Arcsin x
π
x
Figure 1.7 Courbe de f.
x
1
–1
y
2 /2
2 /2
–
−π/2
π/2
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