Supposons
√
2/2 < x 1 . Alors on a π/4 < θ π/2, donc
π/2 < 2θ π, donc
f (x) = Arcsin(sin 2θ) = π−2θ = π − 2 Arcsin x .
c) La fonction x → 2x
√
1−x 2 est continue sur [−1,1] et Arcsin est
continue, donc f est continue comme composée de deux fonctions continues. On voit aussi sur les expressions ci-dessus que
lim
x→
√
2/2
x<
√
2/2
f (x) = 2 Arcsin(
√
2/2) = 2(π/4) = π/2
lim
x→
√
2/2
x>
√
2/2
f (x) = π − 2 Arcsin(
√
2/2) = π − 2(π/4) = π/2
ce qui montre à nouveau que f est continue en
√
2/2. Remarquons enfin
que f (0) = 0 = f (1).
Pour tout x ∈ ]−
√
2/2,
√
2/2[, on a f
(x) = 2Arcsin
(x) =
2
√
1−x 2
,
donc la tangente en 0 a pour pente f
(0) = 2.
Pour x ∈ ]
√
2/2,1[, on a f
(x) = −
2
√
1−x 2
. Par suite
lim
x→
√
2/2
x<
√
2/2
f
(x) =
2
√
1/2
= 2
√
2 et lim
x→
√
2/2
x>
√
2/2
f
(x) = −
2
√
1/2
= −2
√
2
Ce sont les pentes des demi-tangentes à la courbe de f en
√
2/2.
Puisque la courbe de Arcsin a une tangente verticale au point d’abscisse 1, il en va de même de la courbe de x → π−2 Arcsin x , donc de
la courbe de f. Voici comment dessiner aisément la courbe de f qui est
représentée figure 1.7 page 26 :
– On part de la courbe de x → Arcsin(x) et en multipliant par 2 les
ordonnées de chaque point, on obtient la courbe de x → 2 Arcsin(x)
(figures 1.6 page 26) ; sur l’intervalle [−
√
2/2,
√
2/2], c’est la courbe
de f.
– On obtient la courbe de x → −2 Arcsin(x) par symétrie par rapport à
Ox ; puis, en baissant de π l’axe des abscisses, on obtient la courbe de
x → π − 2 Arcsin(x) (figures 1.6 page 26) ; sur l’intervalle
[
√
2/2,1] , c’est la courbe de f .
Solutions
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