d) (ii) D’après (c), on a, pour tout x, les équivalences
f (x) = x ⇔ ln (1+e
−2x ) = ln 2 ⇔ 1+e
−2x = 2
⇔ e
−2x = 1 ⇔ x = 0
La suite (u n ) est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers
un nombre α 0. Puisque f est continue, on a f (α) = α, donc α = 0
d’après l’équivalence ci-dessus. Ainsi lim u n = 0.
1.6 a) Pour tout t ∈ R, on a 1 − 4t (1−t) = 4t
2 −4t+1 = (2t−1)
2
0 ,
donc 4t (1−t) 1(voir figure 1.5). Pour que
√
1−x 2 soit défini, il faut
que 1−x
2
0, c’est-à-dire x ∈ [−1,1]. Réciproquement, supposons
x ∈ [−1,1]. Alors en appliquant l’inégalité 4t (1−t) 1 à t = x
2
, on a
4x
2 (1−x
2 ) 1, ou encore 2|x|
√
1−x 2 1, donc −1 2x
√
1−x 2
1. L’ensemble de définition de f est donc [−1,1].
24
Chapitre 1 • Suites et fonctions
Figure 1.5 Courbe de t → 4t(1 − t)
1
1/2
y
1
t
Les fonctions x → 2x
√
1−x 2 et Arcsin étant impaires, leur composée f
est impaire.
b) Soit x ∈ [0,1]. Posons θ = Arcsin x, donc θ ∈ [0,π/2] et sin θ = x.
Alors cos θ 0, donc
√
1−x 2 = cos θ et il vient
f (x) = Arcsin(2 sin θ cos θ) = Arcsin(sin 2θ)
Supposons 0 x
√
2/2. Alors on a 0 θ π/4, donc
0 2θ π/2 et par suite
f (x) = Arcsin(sin 2θ) = 2θ = 2 Arcsin x .
9782100545636-Liret-C01.qxd 31/03/10 10:00 Page 24