1.5 a) Puisqu’on a ch x > 0 pour tout x ∈ R, la fontion f est définie sur
R. La fonction ch étant paire, la fonction f l’est aussi. Comme on a de
plus ch x 1 pour tout x, il vient f (x) = ln ch x 0.
b) Sur R
+
, f est la composée R
+
ch
−−→ R
∗+
ln
−−→ R de deux fonctions
croissantes, donc f est croissante sur R
+
. Comme f est paire, il s’ensuit
qu’elle est décroissante sur R
−
.
c) On écrit ch x =
1
2
e
x (1+e
−2x ) et il vient ln ch x = −ln2 + x+
ln(1+e
−2x ).
On a ln ch x − (x−ln2) = ln(1+e
−2x ) et puisque lim
x→+∞
e
−2x = 0 , il
vient lim
x→+∞
ln ch x − (x−ln 2)
= 0 : la droite D d’équation
y = x−ln 2 est asymptote à la courbe de f en +∞. Pour tout x, la différence ln ch x − (x−ln 2) est positive, car ln (1+e
−2x ) > ln 1 = 0,
donc la courbe est toute entière au dessus de D.
Puisque la fonction f est paire, la droite D
symétrique de D par rapport
à Oy est asymptote en −∞, et la courbe est au dessus de D
; l’équation
de D
est y = −x−ln 2. La courbe de f est repésentée figure 1.4.
Solutions
23
Figure 1.4
y =
l n ( c h x )
x
y
y =
x –
l n
2
y = – x – l n 2
d) (i) On a f
(x) =
sh x
ch x
= th x , donc −1 < f
(x) < 1 pour tout x. En
appliquant l’inégalité des accroissements finis, on en déduit
f (x) − f (0)
|x−0| . Comme f (0) = 0, il vient |ln ch x| |x|.
Puisque ln ch x 0 pour tout x, on en déduit que pour tout x 0, on a
0 ln ch x x.
Pour tout n, on a u n 0, donc ln ch u n u n , d’après ce qui précède,
c’est-à-dire u n+1 u n : la suite (u n ) est décroissante. Il s’ensuit
u n u 0 = a, donc u n ∈ [0,a].
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