b) Pour tout x = / π/2 appartenant à [0,π], on a π−x ∈ [0,π] et
u(π − x) =
(π−x) − π/2
cos(π−x)
=
π/2−x
− cos x
= u(x)
Cela veut-dire que la droite verticale d’équation x = π/2 est axe de
symétrie du graphe de u.
c) Posons h(x) = x + cos x pour tout x ∈ [0,π/2] . Pour tout
x ∈ [0,π/2[, on a h
(x) = 1 − sin x > 0 , donc h est strictement croissante sur [0,π/2]. Pour tout x ∈ [0,π/2[, on en déduit
h(0) h(x) < h(π/2), c’est-à-dire 1 x+ cos x < π/2, donc
x−π/2 < − cos x. Pour tout x ∈ [0,π/2[ , on peut diviser par
cos x > 0, ce qui donne u(x) =
x−π/2
cos x
< −1. D’après (b), on en
déduit u(x) < −1pour tout x = / π/2 appartenant à [0,π]. Puisque
u(π/2) = −1, le maximum de u sur [0,π] vaut −1 et est atteint seulement en π/2. La courbe de u est représentée figure 1.3.
22
Chapitre 1 • Suites et fonctions
Figure 1.3
π/2
π
–1
−π/2
y = u(x)
y
x
d) Soit x ∈]−1,1[. Posons θ = Arcsin x, de sorte que x = sin θ et
θ ∈ [−π/2,π/2]. On en déduit 1−x
2 = (cos θ)
2
et cos θ 0, donc
cos θ =
√
1−x 2 .
Pour tout x ∈ [0,1], on a Arcsin x ∈ [0,π/2]. La fonction Arcsin est
continue sur [0,1] et u est continue sur [0,π/2], donc la composée
x → u(Arcsin x) est continue sur [0,1]. Par suite,
lim
x→1
x<1
u(Arcsin x) = u(Arcsin 1) = u(π/2) = −1
D’après le calcul précédent, on a u(Arcsin x) =
Arcsin x−π/2
√
1−x 2
, d’où le
résultat.
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