Puisque s(a) est l’unique point fixe de f, s(a) est l’unique solution réelle
de l’équation P(x) = 0.
Prenons a = 1. Le polynôme P a donc pour racine α = s(1). La fonction x →
f
(x)
est majorée par 1/2, donc pour tout entier n 1, on
a (remarque page 8)
u n −α
(1/2)
n |u 0 −α| = α/(2
n ) , car u 0 = 0 et α > 0.
D’après (c), on a α = s(1) < 1 +
1
2
= 3/2, donc
u n −α
3
2 × (2 n )
.
Cherchons n pour que
3
2 × (2 n )
< 10
−2
c’est-à-dire 2
n >
3 × 10
2
2
= 150. Puisque 2
8 = 256, l’entier n = 8 convient. Le terme u 8 est une
valeur approchée à 10
−2
près de α. Avec une calculatrice, on peut calculer successivement u 1 = f (0) = 1 , u 2 = f (1), . . . , u 8 . On trouve que
u 8 est peu différent de 1,2441. La racine réelle de
P = 2x
3 − 2x
2 + x − 2 vaut donc 1,24 à 10
−2
près. La courbe de P est
représentée figure 1.2.
Solutions
21
Figure 1.2 Courbe de P.
x
1
2
1.4 a) Par définition de la dérivée de cosinus en π/2, on a
lim
x→π/2
cos x
x−π/2
= lim
x→π/2
cos x−cos π/2
x−π/2
= cos
(π/2) = −sin(π/2) = −1
Par suite, lim
x→π/2
x−π/2
cos x
= −1. En posant u(π/2) = −1, on obtient
donc une fonction u continue en π/2. Puisque u est aussi continue en
tout autre point de [0,π], u est continue sur [0,π].
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