On a l’équivalence f (x) = x ⇔ ϕ(x) = 0. Donc s(a) est l’unique point
fixe de f (figure 1.1).
20
Chapitre 1 • Suites et fonctions
Figure 1.1
x
y = f(x)
a
y =
x
s(a)
s(a)
y
b) On a ϕ(a) = −
a
2(1+a 2 )
< 0 = ϕ
s(a)
. Puisque ϕ est strictement
croissante, on en déduit a < s(a) .
c) Pour tout x > 0, on a f (x)−a =
x
2(1+x 2 )
> 0. De plus,
x
2(1+x 2 )
=
1
2x
x
2
1+x 2 <
1
2x
, car 0 <
x
2
1+x 2 < 1.
Appliquons l’encadrement 0 < f (x)−a <
1
2x
au nombre positif s(a) :
0 < f
s(a)
− a <
1
2s(a)
On a
1
s(a)
<
1
a
d’après (b), et f
s(a)
= s(a), d’où 0 < s(a) − a
<
1
2a
.
d) On applique la proposition page 8. La fonction f : R → R a un point
fixe s(a) et d’après la question (a), on a
f
(x)
1/2 pour tout x ∈ R.
On en déduit que la suite définie par u n+1 = f (u n ) a pour limite s(a).
e)
On a
f (x) = x ⇐⇒ x − a =
x
2(x 2 +1)
⇐⇒ 2(x−a)(x
2 +1) = x
⇐⇒ P(x) = 0 en développant.
9782100545636-Liret-C01.qxd 31/03/10 10:00 Page 20