b) Pour tout x, on a (en divisant par
√
6 2 + 8 2 =
√
100 = 10) :
6 cos x − 8 sin x = 5 ⇐⇒
3
5
cos x −
4
5
sin x =
1
2
Puisqu’on a posé α = Arcsin(3/5) , il vient sin α = 3/5. De plus,
α ∈ [0,π/2] car 0 < 3/5 < 1, donc cos α > 0. On en déduit
cos α =
1 − (3/5) 2 = 4/5 . Comme 1/2 = sin(π/6), l’équation
s’écrit maintenant :
sinα cos x − cos α sin x = 1/2
⇐⇒ sin(α−x) = sin(π/6)
⇐⇒ α−x = π/6 + 2kπ ou α−x = 5π/6 + 2kπ, où k ∈ Z
⇐⇒ x = α−π/6 − 2kπ ou x = α−5π/6 − 2kπ, où k ∈ Z
Puisque α ∈ [0,π/2] et sin(π/6) = 1/2 < 3/5 = sin α < 1, on a
π/6 < α < π/2
On en déduit α−π/6 ∈ [0,π/2] et aussi −4π/6 < α−5π/6 <
π/2−5π/6, d’où 4π/3 < α−5π/6+2π < 5π/3. On a donc
α−5π/6+2π ∈ [0,2π].
Les nombres x ∈ [0,2π] solutions de l’équation sont α−π/6 et
α−5π/6+2π = α+7π/6 .
1.3 a) On calcule f
(x) =
1
2
1−x
2
(1+x 2 ) 2 . D’après l’inégalité triangulaire,
on a |1−x
2 | 1+x
2
, donc
f
(x)
=
1
2
|1−x
2 |
(1+x 2 ) 2
1
2
1+x
2
(1+x 2 ) 2 =
1
2
1
1+x 2
1
2
Ainsi, on a −
1
2
f
(x)
1
2
. Comme ϕ
(x) = 1 − f
(x), il vient
ϕ
(x) 1 −
1
2
> 0, donc ϕ est strictement croissante sur R.
On a lim
x→±∞
f (x) = a , donc lim
x→±∞
ϕ(x) = ±∞.
La fonction ϕ étant continue, il existe un unique nombre s(a) tel que
ϕ
s(a)
= 0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires.
Solutions
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