c) La fonction f est-elle continue ? Quelles est la pente de la tangente
en 0 ? Préciser les demi-tangentes aux points d’abscisse
√
2/2 et 1.
Dessiner la courbe de f .
1.7 Soit f : [a,b] → R une fonction continue et soit (u n ) une suite dont
tous les termes appartiennent à [a,b].
a) On suppose que pour tout x ∈ [a,b], on a −1 < f (x) < 1. Montrer
que lim
n→+∞
f (u n )
n = 0.
b) On suppose que pour tout x ∈ [a,b], on a f (x) > 0. Montrer que
lim
n→+∞
n
f (u n ) = 1.
SOLUTIONS
1.1 a) La fonction cos : [0,π] → R est continue et strictement décroissante, car pour tout x ∈ ]0,π[ , on a cos
(x) = − sin x < 0. Puisque
cos 0 = 1 et cos π = −1, on a une bijection cos : [0,π] → [−1,1]. Par
cette bijection, tout nombre x ∈ [−1,1]a un unique antécédent
θ ∈ [0,π].
b) La fonction x → Arccos x est la bijection réciproque de la bijection
décroissante cos : [0,π] → [−1,1], donc Arccos est décroissante.
c) Soit x ∈ [−1,1]. Puisqu’on a 0 Arccos x π, on en déduit
−π/2 = π/2 − π π/2 − Arccos x π/2 − 0 = π/2 .
On sait que pour tout α, on a sin(π/2−α) = cos α, donc
sin(π/2 − Arccos x) = cos(Arccos x) = x . Puisque (π/2 − Arccos x)
∈ [−π/2,π/2], on en déduit π/2 − Arccos x = Arcsin x, par définition de Arc sinus.
1.2 a) On a
(cos x)
2 +3(sin x)
2 −5 cos x = (cos x)
2 +3−3(cos x)
2 −5 cos x
= −2(cos x)
2 − 5 cos x + 3 .
En posant t = cos x, il vient l’équation 2t
2 + 5t − 3 = 0 dont les racines sont 1/2 et −3. Puisque | cos x| 1, les nombres cherchés sont les
x ∈ [0,2π] tels que cos x = 1/2, c’est-à-dire
π
3
et 2π−
π
3
.
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Chapitre 1 • Suites et fonctions
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