b) Montrer que le graphe de u a un axe de symétrie parallèle à l’axe des
ordonnées.
c) Montrer la fonction x → x + cos x est strictement croissante sur
[0,π/2] et que l’on a x + cos x < π/2 pour tout x ∈ [0,π/2[.
En déduire que u(x) < −1 pour tout x ∈ [0,π/2[. Quel est le maximum
de la fonction u ? En quel(s) point(s) est-il atteint ?
d) Montrer que pour tout x ∈ [−1,1], on a cos(Arcsin x) =
√
1−x 2 .
Utiliser (a) pour en déduire lim
x→1
x<1
π/2 − Arcsin x
√
1−x 2
= 1.
1.5 Posons f (x) = ln ch x.
a) Montrer que la fonction f est définie sur R, qu’elle est paire et que
f (x) 0 pour tout x ∈ R.
b) Étudier les variations de f.
c) Montrer que pour tout x ∈ R, on a f (x) = x − ln2 + ln(1+e
−2x ).
En déduire que la courbe de f a une asymptote en +∞ ; donner l’équation de cette asymptote et la position de la courbe par rapport celle-ci.
Dessiner la courbe de f.
d) Soit a > 0 et soit (u n )la suite telle que
u 0 = a et u n+1 = ln ch u n pour tout n ∈ N.
(i) Montrer que pour tout x 0, on a 0 f (x) x. En déduire que
u n ∈ [0,a] pour tout n ∈ N. Quel est le sens de variation de la suite
(u n ) ?
(ii) En utilisant (c), montrer que pour tout x 0, on a l’équivalence
( f (x) = x ⇐⇒ x = 0 ). En déduire lim u n = 0.
1.6 On pose f (x) = Arcsin
2x
√
1 − x 2
.
a) Montrer que pour tout t ∈ R, on a 4t (1−t) 1. En déduire que l’ensemble de définition de la fonction f est [−1,1]. Montrer que f est
impaire.
b) Montrer que
f (x) =
2 Arcsin x
si 0 x
√
2/2
π−2 Arcsin x si
√
2/2 x 1
Exercices
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