EXERCICES
1.1 a) Montrer que pour tout x ∈ [−1,1], il y a un unique nombre
θ ∈ [0,π]tel que cos θ = x. On note Arccos x ce nombre θ.
b) Montrer que la fonction Arccos : [−1,1] → [0,π] est décroissante.
c) Montrer que pour tout x ∈ [−1,1], on a Arccos x =
π
2
− Arcsin x.
1.2 a) Trouver les nombres x ∈ [0,2π] tels que
(cos x)
2 + 3(sin x)
2 − 5 cos x = 0
b) Trouver les nombres x ∈ [0,2π] tels que 6 cos x − 8 sin x = 5
(on exprimera les solutions au moyen de α = Arcsin(3/5) ).
1.3 Soit a > 0. Pour tout x ∈ R, on pose
f (x) = a +
x
2(1+x 2 )
et ϕ(x) = x − f (x).
a) Montrer que
f
(x)
1/2. Montrer que la fonction ϕ est strictement
croissante et calculer ses limites en +∞ et en −∞. En déduire que f a
un unique point fixe qu’on notera s(a).
b) Quel est le signe de ϕ(a) ? En déduire l’inégalité a < s(a) .
c) Montrer que pour x > 0, on a 0 < f (x) − a <
1
2x
. En déduire que
a < s(a) < a +
1
2a
.
d) On définit la suite (u n ) en posant u 0 = 0 et u n+1 = a +
u n
2(1+u 2
n )
pour tout n 0. Montrer que lim u n = s(a).
e) Soit le polynôme P(x) = 2x
3 − 2ax
2 + x − 2a . Montrer l’équivalence P(x) = 0 ⇐⇒ f (x) = x . En déduire que P a une unique racine
réelle. On suppose a = 1: utiliser la suite (u n )pour calculer une valeur
approchée à 10
−2
près de cette racine.
1.4 a) Calculer lim
x→π/2
x−π/2
cos x
. Montrer qu’il existe une fonction continue u : [0,π] → R telle que u(x) =
x−π/2
cos x
pour tout x = / π/2 appartenant à [0,π].
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Chapitre 1 • Suites et fonctions
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