Équation ch x = a
La fonction ch définit une bijection [0,+∞[→ [1,+∞[. On en déduit
que l’équation ch x = a n’a pas de solution si a < 1 et a une seule solution positive ou nulle si a 1.
Supposons a > 1. Puisque ch est paire, l’équation ch x = a a deux solutions opposées. On a
ch x = a ⇔
e
x + e
−x
2
= a
⇔ e
2x −2ae
x + 1 = 0 en multipliant par 2e
x
⇔ X
2 − 2a X + 1 = 0 en posant X = e
x .
Les racines X 1 = a +
√
a 2 −1 et X 2 = a −
√
a 2 −1 = 1/ X 1 sont positives. Puisque X 1 > a > 1, le nombre x 1 = lnX 1 est la solution positive
de l’équation ch x = a.
ch x = a et x > 0 ⇐⇒ x = ln
a+
a 2 −1
Pour tout a 1, on pose Argch a = ln
a +
√
a 2 −1
.
La fonction Argch : [1,+∞[→ [0,+∞[, appelée argument cosinus
hyperbolique, est la bijection réciproque de la fonction
[0,+∞[→ [1,+∞[ définie par ch.
Équation th x = a
Si |a| 1, l’équation n’a pas de solution car la fonction th prend ses
valeurs dans ]−1,1[.
Supposons −1 < a < 1. On a
th x = a ⇐⇒
e
x −e
−x
e x +e −x = a ⇐⇒
e
2x −1
e 2x +1
= a ⇐⇒ e
2x =
1+a
1−a
th x = a ⇐⇒ x =
1
2
ln
1+a
1−a
Pour tout a ∈ ]−1,1[, on pose Argth a =
1
2
ln
1+a
1−a
.
La fonction Argth :]−1,1[→ R, appelée argument tangente hyperbolique, est la bijection réciproque de la fonction th : R →]−1,1[ .
1.5 • Fonctions hyperboliques
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