ch(2x) = (ch x)
2 + (sh x)
2
sh 2x = 2 sh x ch x
ch(2x) + 1 = 2(ch x)
2
ch(2x) − 1 = 2(sh x)
2
ch(a+b) = ch a ch b + sh a sh b
sh(a+b) = sh a ch b + ch a sh b
Remarque : supposons que a et b sont des nombres réels tels que
a
2 −b
2 = 1 et a 0 ; il existe un unique nombre t ∈ R tel que b = sh t, car
sh : R → R est une bijection ; on a alors a
2 = 1+(sh t)
2 = (ch t)
2 et comme
a 0, on en déduit a = ch t.
Les solutions de l’équation x
2 −y
2 = 1, x 0 sont les couples
(x,y) = (ch t, sh t) , où t ∈ R.
La courbe d’équation x
2 −y
2 = 1, x 0 est
une branche d’hyperbole ayant pour asymptotes les droites d’équation y = x et y = −x
(figure ci-contre).
C’est cette propriété qui a donné aux fonctions sh et ch le nom d’hyperbolique.
1.5.3 Équations hyperboliques
Équation sh x = a
Soit a ∈ R. Puisque sh est une bijection R → R, l’équation sh x = a a
une unique solution. Pour la calculer, on écrit
sh x = a ⇔
e
x −e
−x
2
= a
⇔ e
2x −2ae
x −1 = 0 en multipliant par 2e
x
⇔ X
2 − 2a X − 1 = 0 en posant X = e
x .
L’équation X
2 − 2a X − 1 = 0 a deux solutions réelles de signes
contraires, car le coefficient de X
2
et le terme constant sont de signes
contraires. Puisque e
x > 0, on ne retient que la solution positive qui est
X = a+
√
a 2 +1. On en déduit que pour tout a ∈ R :
sh x = a ⇐⇒ x = ln
a+
a 2 +1
On pose Argsh a = ln
a+
√
a 2 +1
.
La fonction Argsh : R → R, appelée argument sinus hyperbolique, est
la bijection réciproque de sh.
14
Chapitre 1 • Suites et fonctions
x
y
y =
x
y =
–
x
x – y = 1
2
2
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