(5) La fonction ch est paire, et elle est strictement croissante sur
[0,+∞[ ; ch définit une bijection [0,+∞[→ [1,+∞[.
(6) La fonction th est impaire et strictement croissante ;
elle définit une bijection th : R →]−1,1[.
1.5 • Fonctions hyperboliques
13
1
sh
ch
y = e /2
x
y
x
–1
1
th
Démonstration. Les propriétés (1) et (2) se vérifient aisément par le calcul, de
même que la parité de la fonction ch et l’imparité de sh et th. Pour tout x ∈ R,
on a (ch x)
2 = 1+(sh x)
2
1. Puisque ch x est par définition positif, on en
déduit ch x 1.
Pour tout x, on a ch x − sh x = e
−x > 0, donc sh x < ch x. Comme on a aussi
− sh x = sh(−x) < ch(−x) = ch x , il vient | sh x| < ch x . Puisque ch x > 0,
on en déduit | th x| =
| sh x|
ch x
< 1.
Puisque sh
(x) = ch x > 0, la fonction sh est strictement croissante. On a
sh(0) = 0, donc sh x > 0 pour x > 0. Puisque lim
x→+∞
e
x = +∞ et
lim
x→−∞
e
x = 0, on a lim
x→+∞
sh x = +∞. La fonction sh étant dérivable, elle est
continue. Etant strictement croissante, elle définit une bijection R → R.
Pour tout x > 0, on a ch
(x) = sh x > 0, donc ch est strictement croissante sur
[0,+∞[. De plus, ch(0) = 1 et lim
x→+∞
ch x = +∞, donc ch définit une bijection strictement croissante [0,+∞[→ [1,+∞[.
Enfin, on a (th x)
2 < 1 , donc th
(x) = 1−(th x)
2 > 0, donc th est strictement
croissante. Puisque th x =
e x (1−e −2x )
e x (1+e −2x )
=
1−e −2x
1+e −2x , on a lim
x→+∞
th x = 1 . La fonction th est donc une bijection R →]−1,1[.
J
1.5.2 Trigonométrie hyperbolique
Pour les fonctions hyperboliques, il y a des formules analogues aux formules de trigonométrie, comme (ch x)
2 −(sh x)
2 = 1 . En voici
quelques-unes :
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