c) L’égalité demandée se vérifie par simple calcul. Pour tout v > −1, on
a 1 + v > 0, donc f
−
2
3 + u,
2
3 + v
+
4
27 0. Puisqu’on a l’équivalence
v > −1 ⇔ 2/3 + v > −1/3
, on en déduit que pour tout (x,y)
tels que y > −1/3, on a f (x,y) −
4
27 = f
−
2
3 ,
2
3
. La fonction f a
donc un minimum local en (−2/3,2/3) et la valeur de ce minimum est
−4/27.
10.9 a) L’équation de S équivaut à
z =
x 2 + y 2 − 1 ou
z = −
x 2 + y 2 − 1
.
Notons S + la surface d’équation z =
x 2 + y 2 − 1 et S − la surface
d’équation z = −
x 2 + y 2 − 1. Alors S = S + ∪ S − . Les surfaces S +
et S − sont symétriques par rapport au plan x Oy et ce sont des surfaces
de révolution.
Le profil de S + est la courbe d’équation z =
√ x 2 − 1 , x 1 dans le
plan x Oz : c’est une demi-branche d’hyperbole ayant comme asymptote
la droite d’équation z = x.
Pour visualiser S, on complète ce profil par symétrie pour avoir une
branche complète d’hyperbole, puis on fait tourner la branche d’hyperbole par rotation d’axe Oz. On obtient un hyperboloïde de révolution.
Solutions
225
Demi-branche et branche de l'hyperbole z = ±
√ x 2 − 1
z
z =
x
x
x
z
z =
x
z
=
–
x
1
1
S
x
y
z
b) L’intersection de S et du plan d’équation x = 1 est constitué des
points M : (1,y,z) tels que y
2 − z
2 = 0 , c’est-à-dire z = ±y .
L’ensemble des points tels que x = 1 et z = y est la droite D passant
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