10.7 a) Si l’on coupe la surface d’équation z = x
2 − y
2
par le plan
d’équation x = 0, on obtient la parabole d’équation z = −y
2
du plan
y Oz : ses branches sont dirigées vers le bas. Si l’on coupe par le plan
d’équation y = 0, on obtient la parabole d’équation z = x
2
du plan
x Oz : ses branches sont dirigées vers le haut. La fonction n’a donc pas
d’extremum local en (0,0).
Il revient au même de remarquer que l’on a f (0,y) = −y
2 < 0 =
f (0,0) pour tout y = / 0 et f (x,0) = x
2 > 0 = f (0,0) pour tout x = / 0.
b) Si l’on coupe la surface d’équation z = x
2 + y
3
par le plan d’équation x = 0, on obtient la courbe d’équation z = y
3
du plan y Oz. Ainsi,
pour tout y = / 0, f (0,y) a le signe de y, donc il n’y a ni maximum local,
ni minimum local en (0,0).
c) Puisque x
2 + y
4
0 pour tout (x,y) , on a f (x,y) 1 = f (0,0)
pour tout (x,y) ∈ R
2
: la fonction f a donc un maximum en (0,0).
d) On a f (x,0) = x + x
2 = x(1 + x). Pour tout x ∈ ] − 1,1[, f (x,0) a
donc le signe de x. Il s’ensuit que f n’a pas d’extremum local en (0,0).
e) On a f (x,y) = e
x 2 +y 2 e
0 = 1 quel que soit (x,y) ∈ R
2
: la fonction f a donc un minimum en (0,0).
f) On a f (x,x) = 2x
3
, donc pour tout x = / 0, f (x,x) a le signe de x. On
en déduit que f n’a pas d’extremum local en (0,0).
10.8 a) On a Grad f (x,y) =
2x + 2y
3y
2 + 2x
, d’où
Grad f (x,y) = 0 ⇐⇒
y = −x
3x
2 + 2x = 0
⇐⇒
y = −x
x(3x + 2) = 0
⇐⇒ (x = y = 0) ou bien (x = −2/3,y = 2/3)
On a f (0,0) = 0 et f (−2/3,2/3) = −4/27. Il y a deux points de S où
le plan tangent est horizontal : le point A : (0,0,0) et le point
B : (−2/3,2/3,−4/27).
b) Si l’on coupe la surface par le plan d’équation y = 0, on obtient la
parabole d’équation z = x
2
dans le plan x Oz. Si l’on coupe par x = 0,
on obtient la courbe d’équation z = y
3
du plan y Oz. Puisque
f (0,y) = y
3
a le signe de y, la fonction n’a pas d’extremum local
en (0,0).
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Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
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