b) Le plan tangent en A est orthogonal au vecteur U =
1
1
1
si et seulement si le vecteur normal N est colinéaire à U. Cela équivaut à 2a = 1
et 4b = 1, ou encore a = 1/2 et b = 1/4. On a alors
c = 1 − a
2 − 2b
2 = 1 −
1
4 −
1
8 =
5
8 . Le seul point solution est
A : (1/2,1/4,5/8).
10.6 a) On Grad f (x,y) =
2 − 2x
4 − 4y
. Le seul point de S où le plan
tangent est horizontal est donc le point A de coordonnées
1,1, f (1,1)
= (1,1,3).
b) La courbe d’intersection de S et du plan d’équation x = 1 a pour
équation z = 1 + 4y − 2y
2
. C’est une parabole dans un plan parallèle à
y Oz. Notons-la P 1 .
L’intersection de S et du plan d’équation y = 1 a pour équation
z = 2 + 2x − x
2
. C’est une parabole P 2 dans un plan parallèle à x Oz.
Solutions
223
Parabole P 1
3
1
y
z
Parabole P 2
3
z
1
x
c) On a f (1 + u,1 + v) = 3 − u
2 − 2v
2
. Puisque u
2 + 2v
2
0 pour
tout (u,v), on en déduit f (x,y) 3 = f (1,1) quel que soit (x,y) ∈ R
2
.
La fonction f a pour maximum 3 et ce maximum est atteint en (1,1).
9782100545636-Liret-C10.qxd 31/03/10 11:13 Page 223