10.3 (a)-(ii) ; (b)-(iv) ; (c)-(i) ; (d)-(iii)
10.4 •
∂ f
∂ x
= −
y
x 2 ,
∂ f
∂ y
=
1
x
.
•
∂g
∂ x
= y
2 e
xy
,
∂g
∂ y
= e
xy + x y e
xy
.
•
∂h
∂ x
= e
y
x −
y
x
e
y
x ,
∂h
∂ y
= e
y
x .
•
∂k
∂ x
=
y(y
2 − x
2 )
(x 2 + y 2 ) 2 ,
∂k
∂ y
=
x(x
2 − y
2 )
(x 2 + y 2 ) 2 .
10.5 a) Posons f (x,y) = 1 − x
2 − 2y
2
. On a
∂ f
∂ x = −2x et
∂ f
∂ y = −4y,
donc le vecteur normal en A est
N =






−
∂ f
∂ x
(a,b)
−
∂ f
∂ x
(a,b)
1






=


2a
4b
1

 .
Le plan tangent en A a pour équation
z − c = −2a(x − a) − 4b(y − b) , où c = f (a,b) = 1 − a
2 − 2b
2
c’est-à-dire
2ax + 4by + z − a
2 − 2b
2 − 1 = 0 .
222
Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
Des lignes de niveau
y
x
Paraboloïde d'équation z = 1 − x
2 − y
2
z
y
x
1
9782100545636-Liret-C10.qxd 31/03/10 11:13 Page 222