c) C’est une surface de révolution d’axe Oz, de profil la demi-droite
d’équation y = x ,x 0 : il s’agit donc d’un cône d’axe Oz, de sommet
O et d’angle π/4. La ligne de niveau k > 0 est le cercle centré à l’origine et de rayon k. Sur la figure de gauche ci-dessous, on voit des lignes
de niveau correspondant à des niveaux régulièrement espacés : les
rayons sont en progression arithmétique. Cela correspond au fait que, sur
le cône, la plus grande pente est celle d’une génératrice, donc est constante.
Solutions
221
Des lignes de niveau
x
k = 1
k = 0.3
k = 2 k = 4
k = 3
k = 0.5
y
Surface d'équation z = e
x
z
y
x
Des lignes de niveau
y
x
Cône d'équation z =
x 2 + y 2
z
y
x
d) Partons de la surface d’équation z = x
2 + y
2
(exemple 1, page 204) :
par symétrie par rapport x Oy, on obtient la surface d’équation
z = −x
2 − y
2
, et il suffit ensuite de faire la translation de vecteur
− →
k
pour obtenir la surface demandée. La ligne de niveau k < 1 est le cercle
centré à l’origine et de rayon
√
1 − k.La figure de gauche montre des
lignes de niveau correspondant à des niveaux régulièrement espacés : ils
sont de plus en plus rapprochés à mesure que le niveau diminue, ce qui
correspond au fait que, sur le paraboloïde, la plus grande pente augmente
à mesure qu’on s’éloigne de l’axe.
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