b) Existe-t-il des points de S où le plan tangent est orthogonal au vecteur
− →
i +
− →
j +
− →
k ?
10.6 Soit f : (x,y) → 2x + 4y − x
2 − 2y
2
et soit S la surface d’équation z = f (x,y).
a) En quel point de S le plan tangent est-il horizontal ?
b) On coupe S par le plan d’équation x = 1 : dessiner la courbe d’intersection. Même question quand on coupe S par le plan d’équation
y = 1.
c) Calculer f (1 + u,1 + v). En déduire que la fonction f a un maximum ; quelle est la valeur de ce maximum ?
10.7 Les fonctions f suivantes ont-elles un extremum local en (0,0) ?
Pensez à calculer le vecteur gradient en (0,0) et à couper la surface correspondante par des plans verticaux passant par l’origine.
a) (x,y) → x
2 − y
2
b) (x,y) → x
2 + y
3
c) (x,y) → 1 − x
2 − y
4
d) (x,y) → x + x
2 + y
2
e) (x,y) → e
x 2 +y 2
f) (x,y) → x y(x + y)
10.8 Soit f : (x,y) → x
2 + y
3 + 2x y et soit S la surface d’équation
z = f (x,y).
a) En quels points de S le plan tangent est-il horizontal ?
b) On coupe la surface par le plan d’équation y = 0 : dessiner la courbe
obtenue. Même question quand on coupe la surface par le plan d’équation x = 0. La fonction f a-t-elle un extremum local à l’origine ?
c) Montrer que f
−
2
3 + u,
2
3 + v
+
4
27 = (u + v)
2 + v
2 (1 + v). En
déduire que la fonction f a un minimum local en
−
2
3 ,
2
3
.
10.9 On considère l’ensemble S = {M : (x,y,z) | x
2 + y
2 − z
2 = 1}.
a) Montrer que S est la réunion de deux surfaces de révolution d’axe Oz
symétriques par rapport au plan x Oy. Dessiner S.
b) Montrer que l’intersection de S et du plan d’équation x = 1 est la
réunion de deux droites D et D
perpendiculaires.
c) En déduire qu’on obtient la surface S en faisant tourner la droite D
(ou la droite D
) par rotation d’axe Oz.
Exercices
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