Pour tout v ∈ R, on a l’égalité 6 + 4v + v
2 = (v + 2)
2 + 2 > 0, donc
v
2 (6 + 4v + v
2 ) 0 . On en déduit
−u
2 − v
2 (6 + 4v + v
2 ) 0 pour tout u et v
donc
f (x,y) 4 = f (1,1) pour tout (x,y) ∈ R
2 .
La fonction f a donc un maximum en (1,1) et ce maximum vaut 4.
c) Soit S la surface d’équation z = f (x,y) . Quelle est la position de S par
rapport à son plan tangent au point A : (1,1,4) ?
Le plan tangent en A est horizontal et comme f a un maximum en (1,1), la
surface S est entièrement située en dessous de ce plan tangent.Voici l’allure locale de la surface au point A.
Exercices
217
EXERCICES
10.1 a) Dessiner le graphe de la fonction p : x →
x
2
1 + x 2 sur [0,+∞[.
b) En déduire un dessin de la surface d’équation z =
x
2 + y
2
1 + x 2 + y 2 .
10.2 Pour chacune des surfaces suivantes, dessiner des lignes de niveau,
puis représenter la surface.
a) z = 4 + x + y ; reconnaître cette surface.
b) z = e
x
c) z =
x 2 + y 2 ; reconnaître cette surface.
d) z = 1 − x
2 − y
2
10.3 Associer à chaque dessin de lignes de niveau (a), (b), (c), ou (d) la
surface correspondante (i), (ii), (iii) ou (iv). Dans chaque cas, les lignes
représentées correspondent à des niveaux régulièrement espacés.
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