Démonstration. Le plan tangent en A est horizontal si et seulement si le vecteur normal en A est colinéaire au vecteur directeur
− →
k de Oz, c’est-à-dire si et
seulement si
∂ f
∂ x (x 0 ,y 0 ) =
∂ f
∂ x (x 0 ,y 0 ) = 0 .
Si f a un extremum local en (x 0 ,y 0 ), alors d’après le théorème précédent, les
dérivées partielles de f en (x 0 ,y 0 ) sont nulles, donc le plan tangent en A est
horizontal.
J
216
Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
x 0
y 0
A
S
un maximum
A
S
y
x 0
0
z
z
un minimum local
Exemple 1. Soit la fonction f : (x,y) → x y.
On a ∂ f
∂x = y et ∂ f
∂y = x, donc
Grad f (x,y) = 0 ⇐⇒ x = y = 0
.
• Si x et y sont de même signes, alors f (x,y) > 0 = f (0,0) . Si x et y sont
de signes contraires, alors f (x,y) < 0 = f (0,0) . La fonction f n’a donc
pas d’extremum local en (0,0).
• Soit S la surface d’équation z = x y. Au point O : (0,0,0) , le plan tangent
à S est le plan horizontal x O y, mais aussi près qu’on veut de O, il y a des
points de S qui sont au dessus de x O y et des points de S qui sont en dessous (la surface est représentée page 207).
Exemple 2. Soit la fonction f : (x,y) → 2x + 4y − x
2 − y
4 .
a) En quels points la fonction f peut-elle avoir un extremum local ?
On résout :





∂ f
∂x
= 0
∂ f
∂y
= 0
⇐⇒
2 − 2x = 0
4 − 4y
3 = 0
⇐⇒
x = 1
y = 1
C’est seulement en (1,1) que f peut avoir un extremum local.
b) La fonction f a-t-elle un extremum local en (1,1) ?
Posons x = 1 + u et y = 1 + v. On a f (1,1) = 4 et par un simple calcul,
on montre l’égalité :
f (x,y) = 4 − u
2 − v
2 (6 + 4v + v
2 )
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