Théorème. Soit f une fonction continument dérivable. Si f a un
extremum local en (x 0 ,y 0 ), alors Grad f (x 0 ,y 0 ) = 0.
Démonstration. Supposons par exemple que f a un maximum local en
(x 0 ,y 0 ). Alors la fonction dérivable x → f (x,y 0 ) a un maximum local en x 0 ,
donc sa dérivée en x 0 est nulle : on a
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 ) = 0. De même, la fonction
y → f (x 0 ,y) a un maximum local en y 0 , donc
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) = 0. Ainsi le vecteur
gradient en (x 0 ,y 0 )a ses deux coordonnées nulles.
J
Les points où f a un extremum sont à chercher parmi les solutions du
système d’équations
∂ f
∂ x
(x,y) =
∂ f
∂ y
(x,y) = 0
Il se peut fort bien que les dérivées partielles de f soient nulles en (x 0 ,y 0 )
mais que la fonction n’ait pas d’extremun local en ce point (exemple 1
ci-après). Vous avez déjà rencontré cette situation dans le cas d’une fonction d’une variable : la dérivée peut s’annuler en a sans qu’il y ait d’extremum local en a (pensez à la fonction x → x
3
qui est strictement
croissante et dont la dérivée en 0 est nulle).
En un point où le vecteur gradient s’annule, il n’est pas toujours facile
de décider si la surface présente effectivement un maximum ou un minimum (exemple 2 ci-après).
Corollaire. Soit S la surface d’équation z = f (x,y), où f est continument dérivable. Soit A : (x 0 ,y 0 ,z 0 ) un point de S .
® Le plan tangent à S au point A est horizontal si et seulement si
Grad f (x 0 ,y 0 ) = 0.
® Si f a un extremum local en (x 0 ,y 0 ), alors au point A, le plan tangent à S est horizontal.
® S’il y a un maximum local en A, alors tous les points de S assez
proches de A sont en dessous du plan tangent. S’il y a un minimum local, tous les points de S assez proches de A sont au dessus du plan tangent.
10.6 • Extremum
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extremum local en (x 0 ,y 0 ), alors Grad f (x 0 ,y 0 ) = 0.
Démonstration. Supposons par exemple que f a un maximum local en
(x 0 ,y 0 ). Alors la fonction dérivable x → f (x,y 0 ) a un maximum local en x 0 ,
donc sa dérivée en x 0 est nulle : on a
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 ) = 0. De même, la fonction
y → f (x 0 ,y) a un maximum local en y 0 , donc
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) = 0. Ainsi le vecteur
gradient en (x 0 ,y 0 )a ses deux coordonnées nulles.
J
Les points où f a un extremum sont à chercher parmi les solutions du
système d’équations
∂ f
∂ x
(x,y) =
∂ f
∂ y
(x,y) = 0
Il se peut fort bien que les dérivées partielles de f soient nulles en (x 0 ,y 0 )
mais que la fonction n’ait pas d’extremun local en ce point (exemple 1
ci-après). Vous avez déjà rencontré cette situation dans le cas d’une fonction d’une variable : la dérivée peut s’annuler en a sans qu’il y ait d’extremum local en a (pensez à la fonction x → x
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qui est strictement
croissante et dont la dérivée en 0 est nulle).
En un point où le vecteur gradient s’annule, il n’est pas toujours facile
de décider si la surface présente effectivement un maximum ou un minimum (exemple 2 ci-après).
Corollaire. Soit S la surface d’équation z = f (x,y), où f est continument dérivable. Soit A : (x 0 ,y 0 ,z 0 ) un point de S .
® Le plan tangent à S au point A est horizontal si et seulement si
Grad f (x 0 ,y 0 ) = 0.
® Si f a un extremum local en (x 0 ,y 0 ), alors au point A, le plan tangent à S est horizontal.
® S’il y a un maximum local en A, alors tous les points de S assez
proches de A sont en dessous du plan tangent. S’il y a un minimum local, tous les points de S assez proches de A sont au dessus du plan tangent.
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