Proposition. Le plan tangent en A : (x 0 ,y 0 ,z 0 ) à la surface S est le
plan passant par A et orthogonal au vecteur
N =
−
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 ) , −
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) , 1
La normale à S en A est dirigée par N.
On en déduit que l’équation du plan tangent à S en A est
−
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )
(x − x 0 ) +
−
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 )
(y − y 0 ) + (z−z 0 ) = 0
L’équation du plan tangent au point A : (x 0 ,y 0 ,z 0 ) d e S est
z − z 0 =
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 ) (x − x 0 ) +
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) (y − y 0 )
Exemple. Soit S la surface d’équation z = x y
2 . Les dérivées partielles de f
sont
∂ f
∂x
: (x,y) → y
2
et
∂ f
∂y
: (x,y) → 2x y
Pour tout (a,b) ∈ R
2 , le plan tangent à S en A : (a, b, ab
2 ) a donc pour
équation : z − ab
2 = b
2 (x − a) + 2ab(y − b).
En un point (a,0,0), l’équation du plan tangent est z = 0, donc ce plan est
x O y.
10.6 EXTREMUM
Définitions. Soit f : D → R une fonction de deux variables et soit
(x 0 ,y 0 ) ∈ D.
® f a un maximum en (x 0 ,y 0 ) si l’on a f (x,y) f (x 0 ,y 0 ) quel que
soit (x,y) ∈ D.
® f a un maximum local en (x 0 ,y 0 ) s’il existe un nombre α > 0 assez
petit pour que le carré K de centre (x 0 ,y 0 )et de coté α soit inclus
dans D et qu’on ait f (x,y) f (x 0 ,y 0 ) quel que soit (x,y) ∈ K.
On définit de même un minimum et un minimum local.
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Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
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