U =
1
0
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )
et V =
0
1
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 )
Faisons deux observations importantes sur ce résultat.
• Les vecteurs U et V sont indépendants (en raison de leurs deux premières coordonnées).
• Ils ne dépendent que de f et de A, mais ni de t 0 , ni de la courbe c.
Soit P le plan vectoriel engendré par U et V. Considérons toutes les
courbes dérivable tracées sur S et passant par A. Si une telle courbe a, au
point A, un vecteur dérivé non nul, alors sa tangente en A est dirigée par
un vecteur combinaison linéaire de U et V, donc appartenant à P.
10.5 • Plans tangents à une surface
213
U
c’(t )
0
V
c
S
z
y
x
P
A
Plan tangent en un point
Définitions. Soit A ∈ S le point de coordonnées (x 0 ,y 0 ,z 0 ) et soit U
et V les vecteurs définis ci-dessus.
Le plan de l’espace ayant comme repère (A; U,V ) s’appelle le plan
tangent en A à la surface S.
La droite passant par A et orthogonale au plan tangent s’appelle la
normale à S en A.
Cherchons un vecteur directeur N de la normale à S en A : on dit que N
est un vecteur normal en A à S.
Il suffit de calculer le produit vectoriel de U et V (voir le tome
d’Algèbre) :
N = U ∧ V =
1
0
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )
∧
0
1
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 )
=
−
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )
−
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 )
1
9782100545636-Liret-C10.qxd 31/03/10 11:12 Page 213
1
0
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )
et V =
0
1
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 )
Faisons deux observations importantes sur ce résultat.
• Les vecteurs U et V sont indépendants (en raison de leurs deux premières coordonnées).
• Ils ne dépendent que de f et de A, mais ni de t 0 , ni de la courbe c.
Soit P le plan vectoriel engendré par U et V. Considérons toutes les
courbes dérivable tracées sur S et passant par A. Si une telle courbe a, au
point A, un vecteur dérivé non nul, alors sa tangente en A est dirigée par
un vecteur combinaison linéaire de U et V, donc appartenant à P.
10.5 • Plans tangents à une surface
213
U
c’(t )
0
V
c
S
z
y
x
P
A
Plan tangent en un point
Définitions. Soit A ∈ S le point de coordonnées (x 0 ,y 0 ,z 0 ) et soit U
et V les vecteurs définis ci-dessus.
Le plan de l’espace ayant comme repère (A; U,V ) s’appelle le plan
tangent en A à la surface S.
La droite passant par A et orthogonale au plan tangent s’appelle la
normale à S en A.
Cherchons un vecteur directeur N de la normale à S en A : on dit que N
est un vecteur normal en A à S.
Il suffit de calculer le produit vectoriel de U et V (voir le tome
d’Algèbre) :
N = U ∧ V =
1
0
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )
∧
0
1
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 )
=
−
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )
−
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 )
1
9782100545636-Liret-C10.qxd 31/03/10 11:12 Page 213