Si f est continument dérivable, la formule pour dériver f ◦ u s’écrit
( f ◦ u)
(t) =
Grad f
x(t),y(t)
· u
(t)
10.5 PLANS TANGENTS À UNE SURFACE
Dans la suite, f : D → R est une fonction continument dérivable et S
est la surface d’équation z = f (x,y).
Courbe tracée sur une surface
Rappelons qu’on a défini la notion de courbe paramétrée dans l’espace
page 165.
Définition. Soit c : I → R
3
une courbe paramétrée dans l’espace.
On dit que la courbe c est tracée sur S si pour tout t ∈ I, on a
c(t) ∈ S .
Si l’on pose c(t) =
x(t),y(t),z(t)
, alors la courbe c est tracée sur S
si et seulement si
pour tout t ∈ I , z(t) = f
x(t),y(t)
.
Courbes passant par un point donné de S
Soit A : (x 0 ,y 0 ,z 0 ) un point de S et soit c : t → c(t) une courbe dérivable, tracée sur S et passant par A : il existe t 0 ∈ I tel que
(x 0 ,y 0 ,z 0 ) =
x(t 0 ),y(t 0 ),z(t 0 )
= c(t 0 ) .
Si le vecteur dérivé c
(t 0 ) =
x
(t 0 ),y
(t 0 ),z
(t 0 )
n’est pas nul, il dirige
la tangente en A à la courbe c (page 165). Puisque z(t) = f
x(t),y(t)
,
on a d’après le théorème de dérivation page 210 :
c
(t 0 ) =
x
(t 0 ) , y
(t 0 ) ,
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 )x
(t 0 ) +
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 )y
(t 0 )
Cette égalité vectorielle s’écrit encore :
c
(t 0 ) = x
(t 0 ) U + y
(t 0 ) V
(1)
où l’on a posé
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Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
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