( f ◦ u)
(t 0 ) =
∂ f
∂ x
x(t 0 ),y(t 0 )
x
(t 0 ) +
∂ f
∂ y
x(t 0 ),y(t 0 )
y
(t 0 )
Pour retenir la formule ci-dessus, pensez à la règle de dérivation en
chaine pour une fonction composée : t intervient dans f
x(t),y(t)
– via x(t) et f, d’où le terme
∂ f
∂ x
x(t 0 ),y(t 0 )
x
(t 0 )
– et aussi via y(t) et f, d’où le terme
∂ f
∂ y
x(t 0 ),y(t 0 )
y
(t 0 ).
Exemple. Prenons la fonction f : (x,y) → x ln y définie sur le demi-plan
D = { (x,y) ∈ R
2 | y > 0 } . Les dérivées partielles de f sont
∂ f
∂x
: (x,y) → ln y et
∂ f
∂y
: (x,y) →
x
y
Soit u : R → R la fonction définie par u(t) =
x(t),y(t)
= (2t,1+3t
2 ).
Puisque 1+3t
2 > 0 quel que soit t, la fonction composée f ◦ u est définie
sur R. On a ( f ◦ u)(t) = 2t ln(1+3t
2 ) et il vient
( f ◦ u)
(t) = 2 ln(1+3t
2 ) + 2t
6t
1+3t 2
=
ln y(t)
× x
(t) +
x(t)
y(t)
× y
(t)
=
∂ f
∂x
x(t),y(t)
x
(t) +
∂ f
∂y
x(t),y(t)
y
(t)
Vecteur Gradient
Définition. Soit f : D → R
2
une fonction ayant des dérivées partielles sur D et soit (a,b) ∈ D. Le vecteur
∂ f
∂ x (a,b),
∂ f
∂ y (a,b)
se note
Grad f (a,b) et s’appelle le vecteur gradient de f en (a,b).
Rappelons que si u(t) =
x(t),y(t)
est une fonction dérivable à valeurs
dans R
2
, le vecteur dérivé (page 152) est u
(t) =
x
(t),y
(t)
.
En notant · le produit scalaire, on a
∂ f
∂ x
x(t),y(t)
x
(t) +
∂ f
∂ y
x(t),y(t)
y
(t) =
Grad f
x(t),y(t)
· u
(t)
10.4 • Dérivées partielles
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