Exemples
1) La fonction f : R
2 → R définie par f (x,y) = x y a pour dérivées partielles
∂ f
∂x
: (x,y) → y et
∂ f
∂y
: (x,y) → x
2) Soit g : R
2 → R la fonction définie par g(x,y) = x
2 −2y
3 . Les dérivées
partielles de g sont
∂g
∂x
: (x,y) → 2x et
∂g
∂y
: (x,y) → −6y
2 .
La notion de continuité se généralise de manière naturelle aux fonctions
de deux variables : en voici la définition.
Définition. Une fonction de deux variables f : D → R est continue
en (a,b) ∈ D si pour tout nombre ε > 0, il existe un carré K de centre (a,b) et de coté α > 0 assez petit pour que
K ⊂ D et
(x,y) ∈ K ⇒
f (x,y)− f (a,b)
< ε
On montre facilement les propriétés suivantes.
® Si h est une fonction d’une variable continue en r, alors la fonction
(x,y) → h(x) est continue en tout point (r,y) et la fonction
(x,y) → h(y) est continue en tout point (x,r).
® Si f et g sont continues en (a,b) et si λ ∈ R, alors les fonctions λ f,
f +g et f g sont contines en (a,b).
® Si f est continue en (a,b) et si f (a,b) = / 0, alors la fonction
(x,y) →
1
f (x,y) est continue en (a,b).
Définition. Soit f : D → R une fonction de deux variables. Si f a des
dérivées partielles continues en tout point de D, on dit que f est continument dérivable.
Voici un résultat-clef très utile. Nous l’admettons.
Théorème de dérivation. Soit f : D → R
2
une fonction continument dérivable. Soit u : t →
x(t),y(t)
une fonction à valeurs
dans D.
Si t → x(t) et t → y(t) sont des fonctions dérivables en t 0 , alors la
fonction composée f ◦ u : t → f
x(t),y(t)
est dérivable en t 0 et
sa dérivée est
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Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
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