10.4 DÉRIVÉES PARTIELLES
Soit f : D → R une fonction de deux variables et soit (a,b) ∈ D.
Supposons qu’il existe un nombre α > 0 assez petit pour que le carré de
centre (a,b) et de coté 2α soit contenu dans D. Pour tout (x,y), on a
donc l’implication : ( |x−a| < α et |y−b| < α ) ⇒ (x,y) ∈ D .
En particulier, f (x,b) est défini pour tout x ∈ ]a−α,a+α[ .
De même, f (a,y) est défini pour tout y ∈ ]b−α,b+α[.
10.4 • Dérivées partielles
209
x
y
D
a
b
α
α
α
α
Définition. Si la fonction x → f (x,b) est dérivable en a, sa dérivée
en a se note
∂ f
∂ x
(a,b) et s’appelle la dérivée partielle de f par rapport
à x au point (a,b).
De même, si la fonction y → f (a,y) est dérivable en b, sa dérivée en
b se note
∂ f
∂ y
(a,b) et s’appelle la dérivée partielle de f par rapport à
y au point (a,b).
Si f a des dérivées partielles en tout point de D, les fonctions
(a,b) →
∂ f
∂ x (a,b) et (a,b) →
∂ f
∂ y (a,b) s’appellent simplement les dérivées partielles de f.
Pour calculer
∂ f
∂ x
, on bloque y et l’on dérive la fonction de x obtenue.
Pour calculer
∂ f
∂ y
, on bloque x et l’on dérive la fonction de y obtenue.
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