Proposition. Soit p : I → R une fonction, où I un intervalle inclus
dans [0,+∞[, et soit L la courbe d’équation z = p(x) dans le plan
x Oz. La surface de révolution d’axe Oz et de profil L a pour équation z = p
x 2 +y 2
.
Réciproquement, considérons une surface d’équation z = g
x 2 +y 2
,
où g est une fonction I → R. Sa section par un plan horizontal d’équation z = k est formée des points M : (x,y,k) tels que g
x 2 +y 2
= k,
c’est-à-dire x
2 +y
2 = r
2
, où r est une solution de l’équation g(t)=k
d’inconnue t ∈ I : cette section est donc une réunion de cercles d’axe Oz.
Il s’ensuit que la surface d’équation z = g
x 2 +y 2
est de révolution
d’axe Oz. Son profil dans le demi-plan x Oz ,x 0 a pour équation
z = g
√ x 2 +0 2
, c’est-à-dire z = g(x), car
√ x 2 = x pour tout x 0.
Une surface est de révolution si son équation est de la forme
z = g(x
2 +y
2 ), où g est une fonction.
Exemple 1. Prenons comme profil dans x O z la demi-parabole d’équation
z = x
2 , x 0 .Ce profil étant défini par la fonction p : x → x
2 , l’équation
de S est z = p
x 2 +y 2
=
x 2 +y 2
2
= x
2 +y
2 .
On retrouve bien le paraboloïde de l’exemple 1 page 204.
Exemple 2
La surface représentée ci-contre est de révolution : son profil est une « courbe en U ». Chaque
ligne de niveau est la réunion de deux cercles
concentriques, sauf celle de niveau le plus inférieur qui est formée d’un seul cercle.
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Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
L
A
x
z
y
C
I
r
: z = p(x)
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