Pour visualiser une surface à partir des lignes de niveau, placer chacune de ces lignes dans le plan horizontal correspondant à son niveau.
Des lignes de niveau qui se resserrent indiquent une zone de la surface
où la plus grande pente est plus forte.
10.3 SURFACE DE RÉVOLUTION D’AXE Oz
Une surface de révolution d’axe Oz s’obtient en faisant tourner autour
de Oz une courbe L située dans un plan vertical : L est le profil (ou la
méridienne) de la surface.
Équation d’une surface de révolution
Donnons-nous un profil dans le plan x Oz sous forme d’une courbe L
d’équation z = p(x), où p : I → R est une fonction définie sur un
intervalle I ⊂ [0,+∞[.
Soit S la surface de révolution d’axe Oz et de profil L (figures ci-dessous). Cherchons l’équation de S.
Soit A ∈ L. Puisque L est dans le plan x Oz, les coordonnées de A sont
r,0, p(r)
, où r ∈ I. Soit C le cercle d’axe Oz passant par A : le cercle
C est dans le plan horizontal d’équation z = p(r) et puisque la surface
est de révolution, C est inclus dans S. Le rayon de C est la distance de
A à Oz, c’est-à-dire r. On en déduit
C = { M : (x,y,z) |
x 2 +y 2 = r et z = p(r) }
Pour tout point M : (x,y,z) appartenant à C, on a donc
z = p
x 2 +y 2
.
10.3 • Surface de révolution d’axe Oz
207
Des lignes de niveau x y = k.
k = 1
k = 1
k = 0
k = 2
k = 3
k = 2
k = 3
k = – 3
k = – 2
k = – 1
k = 0
k = – 1
k = – 2
k = – 3
x
y
La surface d'équation z = x y.
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