Lignes de niveau
Définition. Soit S une surface d’équation z = f (x,y). Pour tout
nombre réel k, l’ensemble {(x,y); f (x,y) = k} s’appelle la ligne de
niveau k de la surface S.
Un point m : (x,y) est sur la ligne de niveau k si et seulement si le point
M :
x,y, f (x,y)
est dans le plan horizontal d’équation z = k.
La ligne de niveau k de la surface S s’obtient donc en coupant la surface par le plan d’équation z = k et en projetant
cette section sur le plan x Oy.
Sur une carte topométrique, on voit des lignes de niveau de la fonction
altitude. Sur une carte marine, figurent des lignes de niveau de la fonction profondeur. Une carte météo montre des isobares : ce sont des lignes
de niveau de la pression athmosphérique.
Exemples
1) Pour le paraboloïde d’équation z = x
2 +y
2 (exemple 1), la ligne de
niveau k > 0 est le cercle C k d’équation x
2 +y
2 = k, centré à l’origine et
de rayon
√ k.
Pour visualiser la surface à partir de ses lignes de niveau, il suffit de placer
chaque cercle C k dans le plan horizontal d’équation z = k (figures 10.1 et
10.2 page 205).
2) Considérons la surface d’équation z = x y. La ligne de niveau k a pour
équation x y = k.
• Si k = / 0, cette ligne de niveau est une hyperbole centrée à l’origine et
ayant les axes comme asymptotes.
• La ligne de niveau 0 est l’ensemble {(x,y) ; x = 0 ou y = 0}, c’est-à-dire
la réunion des axes Ox et Oy.
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Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
Des paraboles Γ a
z
y
x
La surface S
z
y
x
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