Si h = 0, on trouve seulement le point O.
Si h > 0, l’intersection est le cercle C h d’axe Oz, de rayon
√ h , centré au
point de coordonnées (0,0,h) sur Oz (figure 10.1).
En empilant tous ces cercles, on reconstitue la surface.
Chaque cercle C h reste globalement invariant par rotation d’axe Oz : il en
va donc de même de S. On dit que S est une surface de révolution d’axe Oz.
Coupe par un plan vertical. Une telle coupe permet de visualiser le profil de
S.
Coupons S par le plan x O z, dont l’équation est y = 0. La courbe d’intersection a pour équations ( z = x
2 + y
2 , y = 0 ), c’est-à-dire ( z = x
2 ,
y = 0 ). Dans le plan x O z, la courbe d’équation z = x
2 est une parabole de
sommet O (figure 10.1). Puisque S est de révolution, on reconstitue la surface en faisant tourner cette parabole autour de Oz : la surface S s’appelle un
paraboloïde (figure 10.2).
10.2 • Surface d’équation z = f (x, y)
205
Figure 10.1
z
x
O
h
y
z = x 2
C h
Figure 10.2
z
y
x
Exemple 2. Considérons la surface S d’équation z = x y
2 .
• Coupons cette surface par le plan vertical d’équation x = a. La section est
la courbe a d’équations ( x = a , z = ay
2 ).
Regardons la courbe d’équation z = ay
2 dans le plan y O z.
– Si a = / 0, c’est une parabole de sommet l’origine ; les branches sont dirigées vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Plus |a| est grand, plus les branches de la parabole sont resserrées.
La courbe a s’obtient par translation, en amenant le sommet de cette
parabole au point (a,0,0) de l’axe Ox.
– Si a = 0, le plan de coupe est y O z et la courbe d’intersection a pour
équation z = 0 : le plan y O z coupe donc S selon Oy.
En dessinant les paraboles a , on a une vue de S.
• Coupons S par le plan x O y (d’équation z = 0) : on a x y
2 = 0 ⇔ ( x = 0
ou y = 0 ), donc l’intersection de S et du plan x O y est la réunion des
deux axes Ox et Oy. (Voir figures ci-après)
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Si h > 0, l’intersection est le cercle C h d’axe Oz, de rayon
√ h , centré au
point de coordonnées (0,0,h) sur Oz (figure 10.1).
En empilant tous ces cercles, on reconstitue la surface.
Chaque cercle C h reste globalement invariant par rotation d’axe Oz : il en
va donc de même de S. On dit que S est une surface de révolution d’axe Oz.
Coupe par un plan vertical. Une telle coupe permet de visualiser le profil de
S.
Coupons S par le plan x O z, dont l’équation est y = 0. La courbe d’intersection a pour équations ( z = x
2 + y
2 , y = 0 ), c’est-à-dire ( z = x
2 ,
y = 0 ). Dans le plan x O z, la courbe d’équation z = x
2 est une parabole de
sommet O (figure 10.1). Puisque S est de révolution, on reconstitue la surface en faisant tourner cette parabole autour de Oz : la surface S s’appelle un
paraboloïde (figure 10.2).
10.2 • Surface d’équation z = f (x, y)
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Figure 10.1
z
x
O
h
y
z = x 2
C h
Figure 10.2
z
y
x
Exemple 2. Considérons la surface S d’équation z = x y
2 .
• Coupons cette surface par le plan vertical d’équation x = a. La section est
la courbe a d’équations ( x = a , z = ay
2 ).
Regardons la courbe d’équation z = ay
2 dans le plan y O z.
– Si a = / 0, c’est une parabole de sommet l’origine ; les branches sont dirigées vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Plus |a| est grand, plus les branches de la parabole sont resserrées.
La courbe a s’obtient par translation, en amenant le sommet de cette
parabole au point (a,0,0) de l’axe Ox.
– Si a = 0, le plan de coupe est y O z et la courbe d’intersection a pour
équation z = 0 : le plan y O z coupe donc S selon Oy.
En dessinant les paraboles a , on a une vue de S.
• Coupons S par le plan x O y (d’équation z = 0) : on a x y
2 = 0 ⇔ ( x = 0
ou y = 0 ), donc l’intersection de S et du plan x O y est la réunion des
deux axes Ox et Oy. (Voir figures ci-après)
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