Alors que les fonctions d’une variable sont en général définies sur un
intervalle ou une réunion d’intervalles, on voit que dans R
2
, les domaines de définition « naturels » sont beaucoup plus variés.
® Si f : D → R et g : D → R sont des fonctions de deux variables
définies sur le même ensemble D, leur somme et leur produit sont
définies sur D :
f +g : (x,y) → f (x,y)+g(x,y) et f g : (x,y) → f (x,y)g(x,y).
® Si λ ∈ R, on définit aussi la fonction λ f : (x,y) → λ f (x,y).
10.2 SURFACE D’ÉQUATION z = f (x,y)
Pour représenter une fonction d’une variable x → h(x), on dessine la
courbe d’équation y = h(x) : elle est formée des points M :
x,h(x)
.
De même, pour une fonction de deux variables f : D → R, on peut
considérer l’ensemble des points M ∈ E de coordonnées
x,y, f (x,y)
,
où (x,y) ∈ D.
Pour chaque point m : (x,y) appartenant au domaine D du plan x Oy, il
y a un unique point M : (x,y,z) tel que z = f (x,y) ; le point M se projette en m sur x Oy.
L’ensemble des points M:(x,y,z) tels
que z= f (x,y) est une surface S étalée
au dessus de D.
S = {M : (x,y,z) | z = f (x,y)}
S est la surface d’équation z = f (x,y).
Exemple 1. Soit S la surface d’équation z = x
2 +y
2 .
Puisque la fonction (x,y) → x
2 +y
2 est définie sur R
2 , la surface S est étalée au dessus du plan x O y tout entier.
Le point O appartient à S et comme x
2 +y
2
0 pour tout (x,y) , la surface est toute entière située dans le demi-espace z 0.
Pour visualiser la surface, coupons-la par des plans et regardons les courbes
obtenues.
Coupe par un plan horizontal. Soit h 0. L’intersection de S et du plan
d’équation z = h est l’ensemble des points M : (x,y,h) tels que
x
2 +y
2 = h.
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Chapitre 10 • Exemples d’études de surfaces
m
M
y
x
z
S
D
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