Dans ce chapitre, l’espace E est muni d’un repère orthonormé
(0;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) et les points de E sont repérés par leurs coordonnées
(x,y,z).
10.1 LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
Définition. Une fonction de deux variables est une fonction
f : D → R, où D est une partie de R
2
. On la note (x,y) → f (x,y).
L’ensemble D est le domaine de définition de f.
Exemples
1) Les fonctions f 1 et f 2 définies par f 1 (x,y) = x y et f 2 (x,y) =
1
1+x 2 +y 2
sont des fonctions de deux variables définies sur R
2 .
2) Posons g(x,y) =
1
x 2 +y 2 .
On a l’équivalence x
2 +y
2 = 0 ⇔ (x = 0 et y = 0), donc la fonction g est
définie sur R
2 \ {(0,0)} ; cet ensemble est le plan x O y privé de l’origine.
3) Posons g(x,y) = x ln y . La fonction g est définie sur l’ensemble
{(x,y) ∈ R
2 | y > 0} qui est un demi-plan limité par l’axe Ox.
4) Posons h(x,y) =
1−x 2 −y 2 . La fonction h est définie sur l’ensemble
D formé des (x,y) ∈ R
2 tels que 1−x
2 −y
2
0 , c’est-à-dire x
2 +y
2
1.
Dans le plan euclidien, x
2 +y
2 est le carré de la distance du point M : (x,y)
à l’origine, donc l’ensemble D est le disque de rayon 1 centré à l’origine.
10
CHAPITRE
Exemples
d'études
de surfaces
Nous abordons l'étude des fonctions de deux variables (x,y) → f (x,y).
Leur représentation dans l'espace est une surface dont les coupes par des
plans horizontaux font apparaître les lignes de niveau.
Nous définissons aussi les dérivées de f par rapport à l'une des variables
(dérivées partielles) et la notion de plan tangent à une surface.
OBJECTIFS
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